1.1 (генеральная) совокупность: Множество всех рассматриваемых единиц.

en

population

fr

population

Примечание 1 - Совокупность может состоять из реальных объектов и быть конечной, может состоять из реальных объектов и быть бесконечной или может быть полностью гипотетической. Иногда используют термин "конечная совокупность", особенно в ситуациях, связанных с получением конечных выборок. Подобным образом термин "бесконечная совокупность" используют в случае выборки из континуума. В главе 2 совокупность рассматривается в вероятностном контексте как пространство элементарных событий (2.1).

Примечание 2 - Гипотетическая совокупность позволяет делать различные предположения о природе ожидаемых данных. Таким образом, гипотетическая совокупность полезна на стадии статистических исследований, особенно при выборе подходящего объема выборки. Гипотетическая совокупность может состоять из конечного или бесконечного числа элементов. Ее использование особенно полезно при работе с аналитическими статистиками в статистических исследованиях.

Примечание 3 - Область применения исследований определяет свойства совокупности. Например, если для демографического или медицинского исследования выбраны три населенных пункта, то генеральная совокупность состоит из жителей данных конкретных населенных пунктов. Однако если эти три населенных пункта выбраны случайным образом среди всех населенных пунктов заданного региона, то совокупность состоит из всех жителей данного региона.

1.2 выборочная единица: Одна из конкретных единиц, из которых состоит генеральная совокупность (1.1).

en

sampling unit

Примечание - В зависимости от обстоятельств единицей может быть человек, семья, учебное заведение, административное подразделение и т.д.

fr

-
nage

1.3 выборка: Подмножество генеральной совокупности (1.1), состоящее из одной выборочной единицы (1.2) или более.

en

sample

Примечание 1 - В зависимости от рассматриваемой генеральной совокупности выборочными единицами могут быть предметы, числовые значения или даже абстрактные объекты.

Примечание 2 - Определение выборки, приведенное в ИСО 3534-2, включает пример схемы отбора выборки, которая необходима при отборе случайной выборки из конечной совокупности.

fr

1.4 наблюдаемое значение: Значение исследуемой характеристики, полученное в результате единичного наблюдения.

en

observed value

Примечание 1 - Часто используемые синонимы данного понятия - это "реализация" и "данная величина". Множественное число от понятия "данная величина" - данные.

Примечание 2 - Определение не указывает на происхождение или способ получения данного значения. Значение может представлять только одну реализацию случайной величины (2.10), но это не является общей ситуацией. Последующему статистическому анализу может быть подвергнута одна из нескольких реализаций случайной величины. Несмотря на то что соответствующие выводы требуют некоторого статистического обоснования, ничто не препятствует вычислительной обработке или графическому представлению наблюдаемых значений. Только при появлении таких вопросов, как определение вероятности появления конкретного набора реализаций случайной величины, применение статистических методов обработки данных становится уместным и важным. Предварительный этап изучения наблюдаемых значений, как правило, относят к анализу данных.

fr

valeur

1.5 описательная статистика: Краткое представление наблюдаемых значений (1.4) в графическом, численном или ином виде.

en

descriptive statistics

Пример 1 - Численные сводки включают выборочное среднее (1.15), выборочный размах (1.10), выборочное стандартное отклонение (1.17) и т.д.

Пример 2 - Примеры графических представлений включают "ящики с усами", диаграммы, графики "квантиль-квантиль", графики нормального квантиля, диаграммы рассеяния, множественные диаграммы рассеяния и гистограммы.

fr

statistique descriptive

1.6 случайная выборка: Выборка (1.3), отобранная методом случайного отбора.

en

random sample

________________

Случайный отбор - метод образования выборки из генеральной совокупности, при котором для каждого элемента генеральной совокупности существует предполагаемая вероятность попасть в выборку.

Примечание 1 - Данное определение имеет меньше ограничений, чем приведенное в ИСО 3534-2, которое допускает наличие бесконечной генеральной совокупности.

Примечание 2 - Когда выборка из выборочных единиц отобрана из конечного пространства элементарных событий (2.1), каждая из возможных комбинаций выборочных единиц имеет свою вероятность (2.5) быть отобранной. Для выборочных планов данных опроса конкретная вероятность каждой возможной комбинации может быть вычислена заранее.

Примечание 3 - Для выборочных планов данных опроса, составляемых для конечного пространства элементарных событий, случайная выборка может быть отобрана с помощью различных планов отбора выборки, таких как планы отбора стратифицированной случайной выборки, систематической случайной выборки, групповой выборки, выборки с вероятностью отбора пропорционально величине вспомогательной переменной, а также с помощью различных других планов.

Примечание 4 - Как правило, определение относят к фактическим наблюдаемым значениям (1.4). Эти наблюдаемые значения считают реализациями случайных величин (2.10), и каждое наблюдаемое значение соответствует одной случайной величине. Если оценки (1.12), статистические критерии для проверки статистических гипотез (1.48) и доверительные интервалы (1.28) получены на основе случайной выборки, определение дополняют ссылкой на случайные величины, возникающие в большей степени на основе абстрактных объектов выборки, чем на основе фактически наблюдаемых значений этих случайных величин.

Примечание 5 - Случайные выборки из бесконечной генеральной совокупности часто генерируют путем многократного отбора из пространства элементарных событий таким образом, что выборка состоит из независимых одинаково распределенных случайных величин в соответствии с интерпретацией данного определения, приведенной в примечании 4.

fr

1.7 простая случайная выборка: Случайная выборка (1.6) из конечной генеральной совокупности, такая, что всем подмножествам заданного объема соответствует одна и та же вероятность быть отобранными.

en

simple random sample

Примечание - Данное определение гармонизировано с определением, приведенным в ИСО 3534-2, хотя и имеет немного отличную формулировку.

fr

simple

1.8 статистика: Полностью определенная функция случайных величин (2.10).

en

statistic

fr

statistique

Примечание 1 - Для случайной выборки (1.6), понимаемой в смысле примечания 4 к 1.6, статистика представляет собой функцию случайных величин.

Примечание 2 - В соответствии с примечанием 1, если - случайная выборка из нормального распределения (2.50) с неизвестным математическим ожиданием (2.35) и неизвестным стандартным отклонением (2.37) , то выражение представляет собой статистику, называемую выборочным средним (1.15), тогда как выражение не является статистикой, так как включает неизвестное значение параметра (2.9) .

Примечание 3 - Приведенное определение является формальным и соответствует трактовке, используемой в математической статистике. В приложениях многочисленные статистические данные, в частности статистики, могут иметь отношение к различным областям технических знаний, включающим анализ действий, представленный в международных стандартах ISO/TC 69.

1.9 порядковая статистика: Статистика (1.8), определяемая порядковым номером случайной величины (2.10) в ряду случайных величин, расположенных в неубывающем порядке.

en

order statistic

Пример - Пусть выборка состоит из наблюдаемых значений (1.4): 9, 13, 7, 6, 13, 7, 19, 6, 10 и 7. Наблюдаемые значения в порядке неубывания: 6, 6, 7, 7, 7, 9, 10, 13, 13, 19. Эти значения являются реализациями порядковых статистик , ..., .

Примечание 1 - Пусть наблюдаемые значения (1.4), составляющие случайную выборку (1.6), образующие множество , при сортировке в неубывающем порядке обозначены следующим образом: . Тогда представляют собой наблюдаемые значения порядковой статистики , а - наблюдаемое значение -й порядковой статистики.

Примечание 2 - На практике определение порядковых статистик для набора данных сводится к сортировке данных, как формально описано в примечании 1. Отсортированные данные применяют для определения полезных сводных статистик, как представлено в нескольких следующих определениях.

Примечание 3 - Порядковая статистика представляет собой выборочное значение, соответствующее его позиции в последовательности данных после их ранжирования в неубывающем порядке. Как показано в примере, легче понять сортировку выборочных значений (реализаций случайных величин), чем сортировку ненаблюдаемых случайных величин. Тем не менее можно представлять случайные величины из случайной выборки (1.6), упорядоченной в неубывающем порядке. Например, максимальное значение набора из случайных величин может быть изучено заранее на основе его реализованного значения.

Примечание 4 - Отдельная порядковая статистика представляет собой полностью заданную функцию случайной величины. Эта функция является идентификатором положения или ранга случайной величины в отсортированном наборе случайных величин.

Примечание 5 - Потенциальную проблему представляет ранжирование совпадающих значений, особенно для дискретных случайных величин и для значений, полученных с низкой точностью. Формулировка "неубывающий порядок" точнее, чем "возрастающий порядок", при учете всех тонкостей процесса ранжирования данных. Необходимо акцентировать внимание на том, что совпадающие значения сохраняют при обработке данных, а не заменяют одним значением. В примере, представленном выше, две реализации, "6" и "6", представляют собой совпадающие значения.

Примечание 6 - Упорядочивание выполняют на основе фактических значений, а не на основе абсолютных значений случайных величин.

Примечание 7 - Полный набор порядковых статистик составляет случайную величину размерности , где - число наблюдений в выборке.

Примечание 8 - Компоненты порядковой статистики также рассматривают как порядковые статистики, но снабженные спецификатором, указывающим их номер в упорядоченной последовательности значений в выборке.

Примечание 9 - Минимальное и максимальное значения, а также при нечетном объеме выборки выборочная медиана (1.13) представляют собой частные случаи порядковых статистик. Например, для выборки объема 11 единиц, - минимум, - максимум и - выборочная медиана.

en

statistique d’ordre

1.10 выборочный размах: Разность между значениями наибольшей и наименьшей порядковых статистик (1.9).

en

sample range

Пример - Для примера, рассмотренного в 1.9, выборочный размах, полученный на основе наблюдений, равен 19-6=13.

Примечание - В статистическом управлении процессами выборочный размах часто используют для отслеживания дисперсии процесса, особенно при относительно небольших объемах выборки.

fr

1.11 середина размаха: Среднее арифметическое (1.15) наименьшей и наибольшей порядковых статистик (1.9).

en

mid-range

Пример - В примере, рассмотренном в 1.9, середина размаха на основе наблюдений равна (6+19)/2=12,5.

Примечание - Середина размаха дает быструю и простую оценку середины небольших наборов данных.

fr

milieu de

1.12 оценка: статистика (1.8), используемая для оценивания (1.36) параметра .

en

estimator

fr

estimateur

Примечание 1 - Оценкой может быть выборочное среднее (1.15) при определении оценки математического ожидания (2.35) генеральной совокупности, которое может быть обозначено . Для такого распределения (2.11), как нормальное распределение (2.50), естественной оценкой математического ожидания генеральной совокупности является выборочное среднее.

Примечание 2 - При определении оценок характеристик генеральной совокупности [например, моды (2.27) для одномерного распределения (2.16)] подходящей оценкой может быть функция оценки(ок) параметра распределения или сложная функция случайной выборки (1.6).

Примечание 3 - Термин "оценка" использован в широком смысле. Он включает в себя как точечную, так и интервальную оценки параметра, которые могут быть использованы для прогнозирования (иногда их рассматривают как прогностические факторы). Оценка также может включать в себя такие функции, как ядерные оценки и другие специальные статистики. Дополнительная информация приведена в примечаниях к 1.36.

1.13 выборочная медиана: Значение -й порядковой статистики (1.9) при нечетном объеме выборки (см. ИСО 3534-2:2006, 1.2.26); значение суммы -й и -й порядковых статистик, деленной на два, при четном объеме выборки .

en

sample median

Пример - В примере, приведенном в 1.9, значение 8 представляет собой реализацию выборочной медианы. В этом случае (четный объем выборки равен 10) 5-е и 6-е значения составили 7 и 9, их среднее равно 8. На практике это заносят в отчет в виде "выборочная медиана равна 8", хотя, строго говоря, выборочная медиана является случайной величиной.

Примечание 1 - Для случайной выборки (1.6) объема случайные величины (2.10), которые расположены в неубывающем порядке от 1 до , выборочная медиана - это -я случайная величина в случае нечетного объема выборки. При четном объеме выборки выборочная медиана равна среднему арифметическому -й и -й случайных величин.

Примечание 2 - Упорядочивание случайных величин, для которых наблюдения отсутствуют, может казаться невозможным. Тем не менее в рамках работы с порядковыми статистиками данный анализ может быть произведен. На практике получают наблюдаемые значения и, сортируя эти значения, реализации порядковых статистик. Данные реализации могут быть проинтерпретированы исходя из структуры порядковых статистик случайной выборки.

Примечание 3 - Выборочная медиана является оценкой середины распределения, с каждой стороны от которой лежит половина выборки.

Примечание 4 - На практике выборочная медиана полезна как оценка, не чувствительная к наличию в выборке сильно удаленных крайних значений. Например, в обзорах в качестве "среднего дохода" и "средней цены на жилье" часто указывает медиану.

fr

1.14 выборочный момент порядка ; : Сумма -х степеней случайных величин (2.10) случайной выборки (1.6), деленная на число наблюдений в выборке (1.3).

en

sample moment of order k

Примечание 1 - Для случайной выборки объема , т.е. для , выборочный момент порядка , - это

.

Примечание 2 - Кроме того, данное понятие можно характеризовать как начальный выборочный момент порядка .

Примечание 3 - Выборочный момент порядка 1, представленный в следующем определении, является выборочным средним (1.15).

Примечание 4 - Хотя определение дано для произвольного , на практике, как правило, рассматривают следующие значения : 1 [выборочное среднее (1.15)], 2 [связано с выборочной дисперсией (1.16) и выборочным стандартным отклонением (1.17)], 3 [связано с выборочным коэффициентом асимметрии (1.20)] и 4 [связано с выборочным коэффициентом эксцесса (1.21)].

Примечание 5 - Использование буквы "" в записи связано с тем, что с этой буквы начинается английская запись понятий "ожидаемое значение" ("expected value") и "ожидание" ("expectation").

fr

moment d’ordre k

1.15 выборочное среднее; среднее арифметическое: Сумма случайных величин (2.10) случайной выборки (1.6), деленная на число слагаемых в этой сумме.

en

sample mean (average, arithmetic mean)

Пример - В примере, приведенном в 1.9, значение выборочного среднего составляет 9,7, т.к. сумма наблюдаемых значений равна 97, а объем выборки равен 10.

Примечание 1 - Рассматриваемое как статистика выборочное среднее представляет собой функцию случайных величин из случайной выборки в смысле, указанном в примечании 3 к 1.8. Необходимо отличать функцию от численного значения выборочного среднего, вычисленного на основе наблюдаемых значений (1.4) случайной выборки.

Примечание 2 - Рассматриваемое как статистика выборочное среднее часто используют как оценку математического ожидания (2.35) генеральной совокупности. Часто используемым синонимом является арифметическое среднее.

Примечание 3 - Для случайной выборки объема , т.е. для , выборочное среднее - это

.

Примечание 4 - Выборочное среднее является моментом первого порядка.

Примечание 5 - Для выборки объема, равного двум, выборочное среднее, выборочная медиана (1.13) и середина размаха (1.11) совпадают.

fr

moyenne (moyenne, moyenne )

1.16 выборочная дисперсия; : Сумма квадратов отклонений случайных величин (2.10) случайной выборки (1.6) от их выборочного среднего (1.15), деленная на число слагаемых в этой сумме минус один.

en

sample variance

Пример - Для примера, приведенного в 1.9, значение выборочной дисперсии составляет 17,57. Сумма квадратов отклонений от выборочного среднего равна 158,10; данная сумма поделена на число 9, что составляет объем выборки 10 минус один.

Примечание 1 - Рассматриваемая как статистика (1.8) выборочная дисперсия является функцией случайных величин случайной выборки. Данную статистику (1.12) следует отличать от численного значения выборочной дисперсии, вычисленной на основе наблюдаемых значений (1.4) случайной выборки. Это численное значение называют эмпирической выборочной дисперсией или наблюдаемой выборочной дисперсией и обычно обозначают .

Примечание 2 - Для случайной выборки объема , т.е. для , с выборочным средним , выборочная дисперсия - это

.

Примечание 3 - Выборочная дисперсия - это статистика, которая "почти" совпадает со средним арифметическим квадратных отклонений случайных величин (2.10) от их выборочного среднего (так как сумму делят не на , а на ). Использование дает несмещенную оценку (1.34) дисперсии генеральной совокупности (2.36).

Примечание 4 - Величину называют числом степеней свободы (2.54).

Примечание 5 - Выборочная дисперсия является вторым выборочным моментом случайных величин нормализованной выборки (1.19).

fr

variance

1.17 выборочное стандартное отклонение; : Неотрицательное значение квадратного корня из выборочной дисперсии (1.16).

en

sample standard deviation

Пример - Для примера, приведенного в 1.9, значение выборочного стандартного отклонения составляет 4,192, т.к. полученная выборочная дисперсия составляет 17,57.

Примечание 1 - На практике выборочное стандартное отклонение используют для определения оценки стандартного отклонения (2.37). также является случайной величиной (2.10), а не значением, полученным по реализации случайной выборки (1.6).

Примечание 2 - Выборочное стандартное отклонение является мерой разброса распределения (2.11).

fr

-type

1.18 выборочный коэффициент вариации: Выборочное стандартное отклонение (1.17), деленное на выборочное среднее (1.15).

en

sample coefficient of variation

Примечание - Как и в случае коэффициента вариации (2.38), полезность этой статистики ограничена генеральными совокупностями, содержащими положительные значения. Величину выборочного коэффициента вариации обычно представляют в процентах. На практике выборочный коэффициент вариации, как правило, применяют, когда вариация возрастает пропорционально среднему.

fr

coefficient de variation

1.19 стандартизованная выборочная случайная величина: Разность случайной величины (2.10) и ее выборочного среднего (1.15), деленная на выборочное стандартное отклонение (1.17).

en

standardized sample random variable

Пример - Для примера, приведенного в 1.9, полученное выборочное среднее составляет 9,7, а полученное выборочное стандартное отклонение - 4,192; таким образом, полученные значения стандартизованной выборки составляют: -0,17; 0,79; -0,64; -0,88; 0,79; -0,64; 2,22; -0,88; 0,07; -0,64.

Примечание 1 - Стандартизованную выборочную случайную величину следует отличать от ее теоретического аналога - стандартизованной случайной величины (2.33). Целью стандартизации случайной величины является ее преобразование в случайную величину с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице; данное преобразование проводят для простоты интерпретации и сравнения данных.

Примечание 2 - Стандартизованные наблюдаемые значения имеют нулевое наблюдаемое среднее и наблюдаемое стандартное отклонение, равное единице.

fr

variable

1.20 выборочный коэффициент асимметрии: Среднее арифметическое стандартизованных выборочных случайных величин (1.19) случайной выборки (1.6) в третьей степени.

en

sample coefficient of skewness

Пример - Для примера, приведенного в 1.9, получен выборочный коэффициент асимметрии 0,97188. Для такого объема выборки (n=10) выборочный коэффициент асимметрии имеет высокую изменчивость, поэтому требует осторожности при использовании. Применение альтернативной формулы, представленной в примечании 1, дает значение 1,34983.

Примечание 1 - Определению соответствует следующая формула:

.

Некоторые программы статистической обработки данных с целью корректировки смещения (1.33) используют для вычисления выборочного коэффициента асимметрии следующую формулу:

,

где .

При больших объемах выборок разность значений этих двух оценок пренебрежимо мала. Отношение несмещенной оценки к смещенной для 10 составляет 1,389, для 100-1,031 и для 1000.

Примечание 2 - Асимметрия характеризует симметричность распределения. Близкие к нулю значения данной статистики указывают на то, что рассматриваемое распределение очень близко к симметричному, тогда как ненулевые значения соответствуют тому, что, вероятно, существуют случайные всплески значений по одну сторону от центра распределения. Асимметричность данных также отражает различие в значениях выборочного среднего (1.15) и выборочной медианы (1.13). Положительная асимметрия (правосторонняя асимметрия) данных указывает на возможное наличие нескольких экстремально больших значений. Подобным образом отрицательная асимметрия указывает на возможное наличие нескольких экстремально малых значений.

Примечание 3 - Выборочный коэффициент асимметрии является третьим выборочным моментом стандартизованной выборочной случайной величины (1.19).

fr

coefficient

1.21 выборочный коэффициент эксцесса; выборочный эксцесс: Среднее арифметическое стандартизованных выборочных случайных величин (1.19) случайной выборки (1.6).

en

sample coefficient of kurtosis

Пример - Для примера, приведенного в 1.9, получен выборочный коэффициент эксцесса 2,67419. Для выборки такого же объема, как и в данном примере, выборочный коэффициент эксцесса (n=10) имеет высокую изменчивость, поэтому при использовании требуется осторожность. Программные пакеты статистической обработки позволяют варьировать настройки при вычислении выборочного коэффициента эксцесса (см. примечание 3 к 2.40). При использовании альтернативной формулы, приведенной в примечании 1, вычисленное значение составляет 0,43605. Два полученных значения, 2,67419 и 0,43605, непосредственно не сопоставимы. Для их сравнения рассматривают разность 2,67419-3 (3 вычитают для сопоставления с эксцессом нормального распределения), которая равна -0,32581, эту величину можно сравнивать с 0,43605.

Примечание 1 - Определению соответствует следующая формула:

.

В некоторых программных пакетах статистической обработки данных с целью корректировки смещения (1.33) и определения отклонения от эксцесса нормального распределения выборочный коэффициент эксцесса вычисляют по следующей формуле:

,

где ;

Второй член формулы при достаточно больших приближается к значению 3. Иногда эксцессом считают выражение, приведенное в 2.40, минус 3 для сопоставления с эксцессом нормального распределения. Специалист, работающий с программами статистической обработки данных, может регулировать соответствующие настройки.

Примечание 2 - Эксцесс характеризует тяжесть хвостов унимодального распределения. Для нормального распределения (2.50) с учетом вариабельности выборки выборочный коэффициент эксцесса приблизительно равен 3. На практике эксцесс нормального распределения представляет собой эталонное или базовое значение. Распределения (2.11), у которых значение эксцесса менее 3, имеют более легкие хвосты, чем хвосты нормального распределения; распределения (2.11), у которых значение эксцесса более 3, имеют более тяжелые хвосты, чем у нормального распределения.

Примечание 3 - Для наблюдаемых значений эксцесса, значительно превосходящих 3, существует вероятность того, что хвосты рассматриваемого распределения значимо тяжелее, чем хвосты нормального распределения. Выборка может содержать наблюдения из другого источника или ошибочные записи.

Примечание 4 - Выборочный коэффициент эксцесса является 4-м выборочным моментом стандартизованных выборочных случайных величин.

fr

coefficient d’aplatissement

1.22 выборочная ковариация; : Сумма произведений отклонений пар случайных величин (2.10) случайной выборки (1.6) от их выборочных средних (1.15), деленная на число слагаемых минус единица.

en

sample covariance

Пример 1 - Наблюдаемые значения представляют собой десять групп упорядоченных чисел, по три числа в каждой группе. Для настоящего примера использованы только первые два числа группы (x, y).


Таблица 1 - Результаты наблюдений для примера 1

fr

covariance

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

38

41

24

60

41

51

58

50

65

33

y

73

74

43

107

65

73

99

72

100

48

z

34

31

40

28

35

28

32

27

27

31

Выборочное среднее для X составляет 46,1, а для Y составляет 75,4. Соответствующая выборочная ковариация равна:

[(38-46,1)·(73-75,4)+(41-46,1)·(74-75,4)+...+(33-46,1)·(48-75,4)]/9=257,178.

Пример 2 - В таблице, представленной в первом примере, рассматривают значения y и z. Выборочное среднее для Z составляет 31,3. Соответствующая выборочная ковариация равна:

[(73-75,4)·(34-31,3)+(74-75,4)·(74-31,3)+...+(48-75,4)·(31-31,3)]/9=-54,356.

Примечание 1 - Рассматриваемая как статистика (1.8) выборочная ковариация представляет собой функцию пар случайных величин случайной выборки объема в смысле примечания 3 к 1.6. Данную статистику (1.12) следует отличать от численного значения выборочной ковариации, вычисленной по наблюденным парам значений выборочных единиц (1.2) случайной выборки. Числовое значение, как правило, называют эмпирической выборочной ковариацией или наблюдаемой выборочной ковариацией.

Примечание 2 - В соответствии с определением выборочная ковариация имеет вид:

.

Примечание 3 - Деление на позволяет получить несмещенную оценку (1.34) ковариации (2.43) генеральной совокупности.

Примечание 4 - В примере, данные для которого представлены в таблице 1, приведены три переменные несмотря на то, что в определении говорится о парах переменных. На практике стандартными являются ситуации, в которых присутствует несколько переменных.

1.61 гистограмма: Графическое представление распределения частот (1.61) в виде прилегающих друг к другу прямоугольников, основаниями которых служат отрезки, равные ширине классов (1.58), а площади прямоугольника пропорциональны частотам в этих классах.

en

histogram

Примечание - Осторожности требуют ситуации, в которых анализируемые данные относятся к классам с разной шириной класса.

fr

histogramme

1.62 столбиковая диаграмма: Графическое представление распределения частот (1.61) номинальной характеристики, состоящее из прямоугольников, имеющих одинаковую ширину и высоту, пропорциональную частоте (1.59).

en

bar chart

Примечание 1 - Иногда, очевидно в эстетических целях, диаграммы изображают как трехмерные объекты, хотя это не добавляет никакой дополнительной информации и не является рекомендуемым представлением диаграмм. В столбиковой диаграмме прямоугольники могут не прилегать друг к другу.

Примечание 2 - Различие между гистограммой и столбиковой диаграммой становится все более размытым, что поддерживается в ряде программных пакетов статистической обработки данных, где данные понятия не разграничены приведенными выше определениями.

fr

diagramme en

1.63 кумулятивная частота: Частота (1.59) для классов с накоплением, включая их установленные границы.

en

cumulative frequency

Примечание - Это определение применимо только для заданных значений, соответствующих границам класса.

fr

1.64 относительная частота: Частота (1.59), деленная на общее число событий или наблюдаемых значений (1.4).

en

relative frequency

fr

relative

1.65 кумулятивная относительная частота: Кумулятивная частота (1.59), деленная на число событий или наблюдаемых значений (1.4).

en

cumulative relative frequency

fr

relative

2.1 пространство элементарных событий; : Множество всех возможных исходов.

en

sample space

fr

espace

Пример 1 - Рассмотрим время, за которое разряжается батарея, приобретенная потребителем. Если батарея разряжена еще до первого использования, то время разрядки считают равным нулю. Если батарея функционирует некоторое время, то время разрядки указывают в часах. Таким образом, пространство элементарных событий состоит из следующих исходов: {батарея разряжена до первого использования} и {батарея функционировала до разрядки x часов, где x более или равно нулю}. Настоящий пример и далее использован в данном разделе. В частности, обсуждение этого примера приведено в 2.68.

Пример 2 - Коробка содержит 10 резисторов с номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Если из этой коробки случайным образом без замещений выбирают два резистора, пространство элементарных исходов состоит из следующих 45 исходов: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9), (1, 10), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9), (2, 10), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (3, 9), (3, 10), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8), (4, 9), (4, 10), (5, 6), (5, 7), (5, 8), (5, 9), (5, 10), (6, 7), (6, 8), (6, 9), (6, 10), (7, 8), (7, 9), (7, 10), (8, 9), (8, 10), (9, 10). Выбор пар (1, 2) и (2, 1) считают одним и тем же исходом, т.е. порядок отбора резисторов не важен. В качестве альтернативы можно рассматривать случай, когда выбор пар (1, 2) и (2, 1) считают разными исходами, тогда общее число элементарных исходов пространства элементарных событий будет равно 90.

Пример 3 - Если в предыдущем примере производят отбор с замещением, то в пространство элементарных событий следует включать исходы: (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (9, 9) и (10, 10). Когда порядок отбора не важен, число возможных исходов пространства элементарных событий равно 55. Если порядок отбора имеет значение, число возможных исходов равно 100.

Примечание 1 - Исходами могут быть результаты реального или гипотетического эксперимента. Множество исходов может быть явно предъявленным списком, счетным множеством, например таким, как положительные целые числа {1, 2, 3, ...} или действительная прямая.

Примечание 2 - Пространство элементарных событий является первым компонентом вероятностного пространства (2.68).

2.2 событие; A: Подмножество пространства элементарных событий (2.1).

en

event
     

Пример 1 - Продолжая пример 1 из 2.1, следующие примеры событий {0}, (0, 2), {5,7}, [7, ) соответствуют описаниям: "батарея разряжена до первого использования", "батарея изначально работала и разрядилась до того, как прошло 2 ч с начала использования", "батарея функционировала точно 5,7 ч" и "после 7 ч использования батарея еще функционирует". Исходы {0} и {5,7} представляют собой множества, состоящие из одной точки; исход (0, 2) - открытый интервал действительной прямой; исход [7, ) - замкнутый слева бесконечный интервал действительной прямой.

Пример 2 - Продолжая пример 2 из 2.1, рассмотрим случай неупорядоченного выбора без замещений. Пусть возможное событие A={по крайней мере один из резисторов с номерами 1 и 2 включен в выборку}. Данному событию соответствуют 17 элементарных исходов: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9), (1, 10), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9) и (2, 10). Другому возможному событию B={никакой из резисторов с номерами 8, 9, 10 не включен в выборку}. Данному событию соответствует 21 элементарный исход: (1, 2), (1, 3), (1,4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (5, 6), (5, 7), (6, 7).

Пример 3 - В продолжение примера 2 пересечению событий A и B (т.е. случаю, когда по крайней мере один из резисторов, 1 или 2, включен в выборку, и, вместе с тем, ни один из резисторов 8, 9 и 10 не включен) соответствуют 11 исходов: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7).

Объединению событий A и B соответствуют 27 исходов: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9), (1, 10), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9), (2, 10), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (5, 6), (5, 7) и (6, 7).

При этом число исходов, соответствующих объединению A и B (т.е. случаю, когда по крайней мере один из резисторов, 1 или 2, включен в выборку, и случаю, когда ни один из резисторов 8, 9 и 10 не включен в выборку), равное 27, может быть получено как 17+21-11, т.е. оно равно числу исходов, соответствующих событию A, плюс число исходов, соответствующих событию B, минус число исходов, соответствующих пересечению A и B.

Примечание - Предположительно в результате эксперимента произошло некоторое событие, если получен исход, принадлежащий данному событию. События принадлежат сигма-алгебре событий (2.69) - второму компоненту вероятностного пространства (2.68). События естественным образом возникают в контексте азартных игр (покер, рулетка и т.д.), в которых число исходов определяет планы на выигрыш.

fr

2.3 дополнительное событие; ; противоположное событие: Все пространство элементарных событий (2.1), за исключением события (2.2).

en

complementary event

fr

Пример 1 - В примере 1 из 2.1 дополнительным событием к событию {0} является событие (0, ), т.е. дополнением к событию "батарея изначально не функционирует". Подобным образом событие [0,3) соответствует тому, что "либо батарея изначально не функционировала, либо она функционировала менее 3 ч". Дополнительное событие [3,) заключается в том, что "батарея работала 3 ч и время ее функционирования составляет более 3 ч".

Пример 2 - В примере 2 из 2.2 число исходов, соответствующих B, может быть легко найдено, если рассматривать событие, дополнительное к событию , которое состоит в том, что "выборка содержит по крайней мере один из резисторов 8, 9 или 10". Данное событие содержит 7+8+9=24 исхода: (1, 8), (2, 8), (3, 8), (4, 8), (5, 8), (6, 8), (7, 8), (1, 9), (2, 9), (3, 9), (4, 9), (5, 9), (6, 9), (7, 9), (8, 9), (1, 10), (2, 10), (3, 10), (4, 10), (5, 10), (6, 10), (7, 10), (8, 10), (9, 10). Так как в данном случае все пространство элементарных событий содержит 45 исходов, событие B содержит 45-24=21 исход [а именно: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (5, 6), (5, 7), (6, 7)].

Примечание 1 - Дополнительное событие дополняет событие до пространства элементарных событий.

Примечание 2 - Дополнительное событие также является событием.

Примечание 3 - Для события дополнительное событие часто обозначают символом .

Примечание 4 - Во многих случаях легче найти вероятность дополнительного события, чем самого события. Например, событию "в случайной выборке объема 10, отобранной из генеральной совокупности объема 1000, для которой предполагаемый процент дефектов составляет единицу, встречается по крайней мере один дефект", соответствует очень большое число элементарных исходов. Гораздо легче работать с дополнительным событием "не обнаружено ни одного дефекта".

2.4 независимые события: Пара событий (2.2) таких, что вероятность (2.5) пересечения этих событий равна произведению их вероятностей.

en

independent events

Пример 1 - Бросают две игральные кости, красную и белую, таким образом, что число возможных элементарных исходов равно 36, вероятность каждого элементарного исхода равна 1/36. Событие состоит в том, что сумма числа точек на выпавших сторонах белой и красной костей равна i. Событие W состоит в том, что на белой кости выпала единица. События и W независимы, в то время как события и W не являются независимыми для i=2, 3, 4, 5 или 6. События, которые не являются независимыми, называют зависимыми событиями.

Пример 2 - Независимые и зависимые события возникают на практике естественным образом. Когда события или обстоятельства зависимые, полезно знать результат связного события. Например, на успешный исход операции на сердце может влиять анамнез пациента: курение и другие факторы риска. Таким образом, смерть от хирургической операции и курение могут быть зависимыми. С другой стороны, смерть от операции, вероятно, не зависит от дня недели, в который родился пациент. В контексте надежности компоненты, имеющие общую причину отказа, не имеют независимые наработки до отказа. Вероятность возникновения трещин топливных стержней в реакторе предположительно мала. Но если на одном из стержней появилась трещина, вероятность появления трещин на соседнем стержне значительно возрастает.

Пример 3 - Пусть в примере 2 из 2.2 отбор произведен с помощью простого случайного отбора, т.е. каждый исход имеет одну и ту же вероятность, равную 1/45. Тогда P(A)=17/45=0,3778; P(B)= 21/45=0,4667 и P(A и B)=11/45=0,2444; однако произведение вероятностей P(A)·P(B)=(17/45)·(21/45)=0,1763 не равно 0,2444; таким образом, события A и B не являются независимыми.

fr

Примечание - Приведенное определение дано для случая двух событий, но может быть расширено. Для событий и условием независимости является . Для трех событий , и условиями независимости являются следующие:

В общем случае, если число событий более двух, события , , ..., независимы, если вероятность пересечения любого заданного подмножества событий равна произведению вероятностей отдельных событий, данное условие имеет отношение ко всем без исключения подмножествам. Существуют примеры таких ситуаций, когда каждые два события попарно независимы, но три события не являются независимыми (т.е. есть попарная независимость, но общая независимость событий отсутствует).

2.5 вероятность события; A, P(A): Действительное число из замкнутого промежутка [0, 1], приписываемое событию (2.2).

en

probability of an event

Пример - В примере 2 из 2.1 вероятность события может быть найдена как сумма вероятностей всех элементарных исходов, составляющих событие. Если вероятности всех 45 элементарных исходов совпадают, каждый из них имеет вероятность 1/45. Вероятность события может быть найдена путем подсчета всех соответствующих событию элементарных исходов и последующего деления этого числа на 45.

Примечание 1 - Вероятностная мера (2.70) обеспечивает присвоение действительного числа каждому рассматриваемому событию, заданному на пространстве элементарных исходов. Для отдельного события вероятностная мера задает вероятность, связанную с этим событием. Другими словами, задает полный набор назначений для всех событий, тогда как вероятность представляет собой одно конкретное значение, приписанное отдельному событию.

Примечание 2 - В данном определении вероятность рассматривают как вероятность отдельного события. Вероятность может быть связана с относительной частотой реализации события в длинной серии наблюдений или со степенью уверенности в возможной реализации события. Как правило, вероятность события обозначают символом . Запись , использующая рукописную букву , применяют в том случае, когда необходимо подробно рассмотреть формальное описание вероятностного пространства (2.68).

fr

d’un

2.6 условная вероятность; : Вероятность (2.5) пересечения событий А и В, деленная на вероятность события В.

en

conditional probability

Пример 1 - В рамках примера 1 (2.1) пусть событие (2.2) A определено как {батарея функционирует по крайней мере 3 ч}, т.е. ему соответствует интервал [3, ). Пусть событие B определено как {батарея изначально функционировала}, т.е. ему соответствует интервал (0, ). При определении условной вероятности вероятность события при условии реализации события учитывает то, что рассматривают только изначально функционирующие батареи.

Пример 2 - В рамках примера 2 (2.1) если проводят выбор без замещения, вероятность отбора резистора два во втором извлечении равна нулю, если он был отобран при первом извлечении. Если вероятность быть отобранным совпадает для всех резисторов, вероятность отбора резистора два при втором извлечении равна с учетом того, что он не был отобран при первом извлечении, 0,1111.

Пример 3 - В рамках примера 2 (2.1) если проводят отбор с замещением и вероятности отбора при каждом извлечении совпадают для всех резисторов, то вероятность отбора резистора два при втором извлечении составляет 0,1 независимо от того, был резистор два отобран при первом извлечении или не был отобран. Таким образом, исходы первого и второго извлечений являются независимыми событиями.

Примечание 1 - Необходимо, чтобы вероятность события была более нуля.

Примечание 2 - Используемое выражение " при условии " может быть записано более развернуто: "событие при условии реализации события ". Вертикальная черта в символе условной вероятности произносится как "при условии".

Примечание 3 - Если условная вероятность события при условии реализации события равна вероятности реализации события А, то события и независимы. Другими словами, знание о реализации события не влияет на вероятность события .

fr

conditionnelle

2.7 функция распределения (случайной величины X); F(x): Функция , задающая вероятность (2.5) события (2.2) (, ].

en

distribution function of a random variable X

Примечание 1 - Полуинтервал (, ] представляет собой множество всех значений менее , включая .

fr

fonction de d’une variable X

Примечание 2 - Функция распределения полностью описывает распределение вероятностей (2.11) случайной величины (2.10). Классификация распределений так же, как и классификация случайных величин на дискретные и непрерывные, основана на классификации функций распределения.

Примечание 3 - Так как значениями случайных величин являются действительные числа или упорядоченные наборы действительных чисел, в определении функции распределения неявно подразумевается, что является действительным числом или упорядоченным набором из действительных чисел. Функция распределения многомерного распределения (2.17) задает вероятность (2.5) того, что каждая из случайных величин многомерного распределения менее или равна заданному значению. Многомерную функцию распределения записывают следующим образом: . Функция распределения является неубывающей функцией. В одномерном случае функция распределения, определенная как , задает вероятность того, что случайная величина принимает значение менее или равное .

Примечание 4 - Обычно функции распределения подразделяют на функции дискретных распределений (2.22) и функции непрерывных распределений (2.23), хотя это подразделение не исчерпывает все возможные случаи. Так, в примере со временем функционирования батареи, приведенном в 2.1, функция распределения может иметь следующий вид:

При таком задании функции распределения время функционирования батареи принимает неотрицательные значения. С вероятностью 0,1 батарея не будет функционировать при начальном использовании. Если батарея изначально функционировала, то время функционирования батареи имеет экспоненциальное распределение (2.58) с математическим ожиданием, равным 1 ч.

Примечание 5 - Иногда применяют англоязычную аббревиатуру для обозначения функции распределения cdf (англ. "cumulative distribution function" - кумулятивная функция распределения).

2.8 семейство распределений: Множество распределений вероятностей (2.8).

en

family of distributions
     

Примечание 1 - Множество распределений вероятностей часто индексируют с помощью параметра (2.9) функции распределения.

Примечание 2 - Математическое ожидание (2.35) и/или дисперсию (2.36) распределения вероятностей часто используют для идентификации семейства распределений или для частичной идентификации, если для описания семейства распределений необходимо использовать более двух параметров. В некоторых случаях математическое ожидание и дисперсия представляют собой не явные параметры семейства распределений, а функции других параметров.

fr

famille de distributions

2.9 параметр: Признак семейства распределений (2.8).

en

parameter

Примечание 1 - Параметр может быть одномерным или многомерным.

Примечание 2 - Иногда некоторые параметры называют параметрами положений, особенно в тех случаях, когда параметр непосредственно связан с математическим ожиданием семейства распределений. Некоторые параметры называют параметрами масштаба, особенно если такой параметр равен или пропорционален стандартному отклонению (2.37) распределения. Параметры, не являющиеся параметрами положения или параметрами масштаба, как правило, называют параметрами формы.

fr

2.10 случайная величина: Функция, определенная на пространстве элементарных событий (2.1), значениями которой являются упорядоченные наборы действительных чисел.

en

random variable

Пример - В примере с батареей, введенном в 2.1, пространство элементарных событий состоит из элементарных исходов, приведенных в словесной формулировке ("батарея не функционировала изначально", "батарея изначально функционировала и перестала функционировать через x часов работы"). События, представленные подобным образом, не допускается обрабатывать математически, для их проведения естественно указывать каждый исход как время работы батареи, заданное действительным числом. Времени работы батареи, равному нулю, соответствует исход "батарея изначально не функционировала". Значению случайной величины более нуля соответствует то, что батарея изначально функционировала и ее время работы равно данному значению. Такое представление случайной величины позволяет отвечать на вопросы о времени работы батареи, например: "какова вероятность того, что батарея будет функционировать по истечении гарантийного срока, допустим, 6 ч?"

Примечание 1 - Запись - пример упорядоченного набора из компонент. Другими словами, упорядоченный набор из данных представляет собой -мерный вектор (вектор-столбец или вектор-строку).

Примечание 2 - Размерность случайной величины часто обозначают латинской буквой . Если 1, то случайная величина является одномерной или имеет размерность один. При 1 речь идет о многомерной случайной величине. Когда размерность задана числом , случайную величину называют -мерной.

Примечание 3 - Одномерная случайная величина - это функция, значениями которой являются действительные числа; она определена на пространстве элементарных событий (2.1), которое является одной из составляющих вероятностного пространства (2.68).

Примечание 4 - Случайную величину, значениями которой являются упорядоченные пары действительных чисел, называют двумерной. Определение расширяет упорядоченные (пары) действительных чисел упорядоченного набора -мерных данных.

Примечание 5 - Компонент с номером -мерной случайной величины представляет собой одномерную случайную величину (соответствующую только данному компоненту). Для компонента с номером -мерной случайной величины вероятностным пространством является пространство, в котором события (2.2) определены только в терминах данного рассматриваемого компонента.

fr

variable

2.11 распределение (вероятностей): Вероятностная мера (2.70), индуцированная случайной величиной (2.10).

en

probability distribution, distribution

Пример - В примере с батареей, введенном в 2.1, распределение времени работы батареи полностью описывает вероятности возникновения установленных значений. Но невозможно с уверенностью определить ни время отказа данной батареи, ни даже то, будет ли она функционировать при начальном использовании. Вероятностное распределение полностью описывает вероятностные свойства неопределенности результата. В примечании 4 к 2.7 приведено одно из возможных представлений распределения вероятностей, а именно функция распределения.

Примечание 1 - Существуют многочисленные, математически эквивалентные представления распределения, к ним относятся функция распределения (2.7), функция плотности распределения (2.27) [если существует] и характеристическая функция. Данные представления с различными уровнями сложности позволяют определять вероятность, с которой случайная величина принимает значения в заданном диапазоне.

Примечание 2 - Так как случайная величина представляет собой функцию, заданную на подмножествах пространства элементарных событий и принимающую значения на действительной оси, то, например, вероятность того, что случайная величина примет некоторое действительное значение, равна единице. В примере с батареей 1. Во многих случаях проще работать со случайной величиной и одним из ее представлений, чем исследовать лежащую в основе представления вероятностную меру. Однако при переходе от одного представления к другому вероятностная мера обеспечивает непротиворечивость этих представлений.

Примечание 3 - Если случайная величина одномерна, то говорят об одномерном распределении вероятностей. Если случайная величина двумерна, говорят о двумерном распределении вероятностей. Если случайная величина имеет более двух компонент, говорят о многомерном распределении вероятностей.

fr

loi de , distribution

2.12 математическое ожидание: Интеграл функции случайной величины (2.10) по вероятностной мере (2.70) на пространстве элементарных событий (2.1).

en

expectation

Примечание 1 - Математическое ожидание функции от случайной величины обозначают и вычисляют следующим образом:

,

где - соответствующая функция распределения.

Примечание 2 - Латинская буква "" в обозначении * соответствует английскому "expected value" (ожидаемое значение) или "expectation" (ожидание) случайной величины . Знак можно рассмотреть как обозначение оператора или функции, отображающей случайную величину в действительное число после необходимых вычислений, представленных выше.
________________

* Текст документа соответствует оригиналу. - Примечание изготовителя базы данных.

Примечание 3 - Для дано два представления в виде интеграла. В первом интегрирование производят по пространству элементарных событий, что теоретически обосновано, но не используется на практике по причине неудобства работы с самими событиями (например, если они заданы в виде словесных формулировок). Второе представление, где интегрирование производят по , более приемлемо для практического использования.

Примечание 4 - На практике приведенный выше интеграл представляют в более удобной для вычисления форме. Примеры представлены в примечаниях к терминам: момент порядка (2.34), где ; среднее (2.35), где и дисперсии (2.36), где .

Примечание 5 - Данное определение не ограничено одномерными интегралами, как можно было бы предположить из приведенных примеров и замечаний. Ситуации более высоких размерностей представлены в 2.43.

Примечание 6 - Для дискретной случайной величины (2.28) второй интеграл, приведенный в примечании 1, заменяют на символ суммирования. Примеры могут быть найдены в 2.35.

fr

2.13 квантиль уровня p; фрактиль уровня ; ; : Значение , равное нижней границе множества значений , таких, что функция распределения (2.7) равна или превышает значение при .

en

p-quantile,
p-fractile

Пример 1 - Рассмотрим биномиальное распределение (2.46) с функцией распределения вероятностей, представленной в таблице 2. Данное множество значений соответствует биномиальному распределению параметрами n=6 и p=0,3. Для данного случая рассмотрены некоторые р-квантили:

=0,

=1,

=2,

=3,

=3,

=4,

=5,

=5.

Дискретность биномиального распределения приводит к тому, что значения р-квантилей также являются дискретными.


Таблица 2 - Пример биномиального распределения

fr

quantile d’ordre p, fractile d’ordre p

X

P[X=x]

P[Xx]

P[X>x]

0

0,117649

0,117649

0,882351

1

0,302526

0,420175

0,579825

2

0,324135

0,744310

0,255690

3

0,185220

0,929530

0,070470

4

0,059535

0,989065

0,010935

5

0,010206

0,999271

0,000729

6

0,000729

1,000000

0,000000

Пример 2 - Рассмотрим стандартное нормальное распределение (2.51), в таблице 3 представлены отдельные значения его функции распределения.


Таблица 3 - Пример стандартного нормального распределения

Значения такие, что P[Xx]=p

0,1

-1,282

0,25

-0,674

0,5

0,000

0,75

0,674

0,84134475

1,000

0,9

1,282

0,95

1,645

0,975

1,960

0,99

2,326

0,995

2,576

0,999

3,090

2.49 отрицательное биномиальное распределение: Дискретное распределение (2.22) с функцией распределения (2.24)

,

en

negative binomial distribution

где с параметром 0 и параметром , удовлетворяющим условию .

Примечание 1 - При 1 отрицательное биномиальное распределение называют геометрическим распределением; оно описывает вероятность (2.5) того, что первое появление события (2.2), вероятность которого равна , будет иметь место в -м испытании.

Примечание 2 - Функция вероятности может быть записана в эквивалентном виде:

.

Термин "отрицательное биномиальное распределение" является следствием данной записи функции вероятности.

Примечание 3 - Версию записи функции распределения, данную в определении, часто называют "распределение Паскаля" при условии, что - целое число, более или равное единице. В этом случае функция вероятности описывает вероятность того, что -е появление события (2.2), вероятность которого равна , будет иметь место в -м испытании.

Примечание 4 - Среднее (2.35) отрицательного биномиального распределения равно . Дисперсия (2.36) отрицательного биномиального распределения равна .

fr

loi binomiale

2.50 нормальное распределение; распределение Гаусса: Непрерывное распределение (2.23) с функцией плотности распределения (2.26)

,

en

normal distribution, Gaussian distribution

где , и - параметры распределения, и 0.

Примечание 1 - Одно из наиболее широко используемых распределений вероятностей (2.11) в прикладной статистике. Из-за формы функции плотности распределения ее неформально называют "колоколообразная" кривая. Данное распределение является предельным распределением выборочных средних (1.15). В статистике данное распределение широко используют как опорное распределение для анализа необычности экспериментальных результатов.

Примечание 2 - Параметром положения является среднее (2.35), параметром масштаба является стандартное отклонение (2.37) нормального распределения.

fr

loi normale, loi de Gauss

2.51 стандартное нормальное распределение; стандартное распределение Гаусса: Нормальное распределение (2.50) с 0 и 1.

Примечание - Функция плотности распределения (2.26) стандартного нормального распределения:

en

standardized normal distribution, standardized Gaussian distribution

,

где .

В таблицах нормального распределения используют функцию плотности распределения для вычисления площади под графиком для значений в интервале .

fr

loi normale , loi de Gauss

2.52 логнормальное распределение: Непрерывное распределение (2.23) с функцией плотности распределения (2.26)

en

lognormal distribution

,

где 0, и - параметры распределения,

и 0.

Примечание 1 - Если подчиняется нормальному распределению (2.50) со средним (2.35) и стандартным отклонением (2.37), то величине соответствует функция плотности распределения, приведенная в определении. Если подчиняется логнормальному распределению с функцией плотности распределения, указанной в определении, то имеет нормальное распределение со средним и стандартным отклонением .

Примечание 2 - Средним логнормального распределения является величина , а дисперсией величина . Таким образом, среднее и дисперсия логнормального распределения являются функциями параметров и .

Примечание 3 - Логнормальное распределение и распределение Вейбулла (2.63) широко используют при анализе надежности.

fr

distribution lognormale

2.53 t-распределение; распределение Стьюдента: Непрерывное распределение (2.23) с функцией плотности распределения (2.26)

,

en

distribution; Student’s distribution

fr

distribution ;

где ;

- положительное целое число.

Примечание 1 - На практике -распределение широко используют при определении оценки выборочного среднего (1.15) в общем случае, когда стандартное отклонение оценивают на основе данных выборки. Выборочную -статистику можно сопоставлять с -распределением со степенью свободы для определения оценки среднего как оценки истинного среднего генеральной совокупности.

Примечание 2 - -распределение возникает как распределение двух независимых случайных величин (2.10), при этом величина в числителе имеет стандартное нормальное распределение (2.51), а величина в знаменателе распределена как положительный квадратный корень -распределения (2.57) после деления на число степеней свободы. Параметр рассматривают как число степеней свободы (2.54).

Примечание 3 - Гамма-функция определена в 2.56.

loi de Student

2.54 число степеней свободы; : Число членов суммы минус число связей между членами суммы.

en

degrees of freedom

Примечание - Данная идея первоначально имела место в контексте использования в знаменателе оценки (1.12) выборочной дисперсии (1.16). Число степеней свободы используют для изменения параметров. Термин "число степеней свободы" также широко использован в ИСО 3534-3, где средний квадрат задают как сумму квадратов, деленную на соответствующее число степеней свободы.

fr

de

2.55 F-распределение: Непрерывное распределение (2.23) с функцией плотности распределения вероятности (2.26)

en

F distribution

,

где ;

и - положительные целые числа;

- гамма-функция, определенная в 2.56.

Примечание 1 - -распределение полезно как опорное распределение для анализа отношения независимых дисперсий (2.36).

Примечание 2 - -распределение возникает как распределение отношения двух независимых случайных величин (2.10), каждая из которых подчиняется -распределению (2.57), деленному на число степеней свободы (2.54). Параметр - число степеней свободы числителя, а параметр - число степеней свободы знаменателя -распределения.

fr

loi de F

2.56 гамма-распределение: Непрерывное распределение (2.23) с функцией плотности распределения (2.26)

en

gamma distribution

,

где ;

, - параметры распределения; , .

Примечание 1 - Гамма-распределение используют в исследованиях надежности для моделирования наработки до отказа. Оно охватывает экспоненциальное распределение (2.58) как специальный случай, а также другие случаи, когда интенсивность отказов возрастает вследствие старения.

Примечание 2 - Гамма-функцию определяют следующим образом:

.

Для целых значений , .

Примечание 3 - Среднее (2.35) гамма-распределения равно , . Дисперсия (2.36) гамма-распределения равна , .

fr

loi gamma

2.57 хи-квадрат-распределение, -распределение: Непрерывное распределение (2.23) с функцией плотности распределения (2.26)

,

en

chi-squared distribution, distribution

где и .

Примечание 1 - Для данных, описываемых нормальным распределением (2.50) с известным стандартным отклонением (2.37) , статистика подчиняется -распределению с степенями свободы. Данный результат является основанием для построения доверительных интервалов для . Другим применением -распределения является его использование в критериях согласий модели данным наблюдений.

Примечание 2 - Данное распределение при и 2 является частным случаем гамма-распределения (2.56). Параметр представляет собой число степеней свободы (2.54).

Примечание 3 - Среднее (2.35) -распределение равно . Дисперсия (2.36) -распределения равна .

fr

loi de chi deux, distribution

2.58 экспоненциальное распределение: Непрерывное распределение (2.23) с функцией плотности распределения (2.26)

en

exponential distribution

,

где и .

Примечание 1 - Экспоненциальное распределение является базовым в исследовании надежности в случае отсутствия "старения" или отсутствия "памяти".

Примечание 2 - Экспоненциальное распределение является частным случаем гамма-распределения (2.56) при 1 и -распределения (2.57) при 2.

Примечание 3 - Среднее (2.35) экспоненциального распределения равно . Дисперсия (2.36) экспоненциального распределения равна .

fr

loi exponentielle

2.59 бета-распределение: Непрерывное распределение (2.23) с функцией плотности распределения (2.26)

en

beta distribution

fr

loi

,

где , , - параметры , 0.

Примечание - Бета-распределение очень изменчиво, его функция плотности распределения принимает разнообразные формы (унимодальную, J-образную, U-образную). Данное распределение используют как модель неопределенности, связанную с долями. Например, при моделировании страховых случаев, вызванных ураганами, наблюдаемая доля ущерба, связанного с разрушением определенного вида конструкций при заданной скорости ветра, может составлять 0,40, хотя некоторые сооружения испытывают такой же ущерб при меньшей скорости ветра вследствие накопления разрушений. Бета-распределение со средним 0,40 может служить моделью диспропорции ущерба для данного типа сооружений.

2.60 равномерное распределение; прямоугольное распределение: Непрерывное распределение (2.23) с функцией плотности распределения (2.26)

,

en

uniform distribution, rectangular distribution

где .

Примечание 1 - Равномерное распределение с 0 и 1 лежит в основе типичного генератора случайных чисел.

Примечание 2 - Среднее (2.35) равномерного распределения равно . Дисперсия (2.36) равномерного распределения равна .

Примечание 3 - Равномерное распределение является частным случаем бета-распределения при 1 и 1.

fr

loi uniforme, loi rectangulaire

2.61 распределение экстремальных значений типа I; распределение Гумбеля: Непрерывное распределение (2.23) с функцией распределения (2.7)

,

en

type I extreme value distribution, Gumbel distribution

где и параметры , 0.

Примечание - Распределение экстремальных значений является подходящим опорным распределением для распределения крайних порядковых статистик (1.9) и . При , стремящемся к , три возможных предельных распределения являются распределениями трех типов экстремальных значений, представленных в 2.61, 2.62 и 2.63.

fr

loi des valeurs de type I, loi de Gumbel

2.62 распределение экстремальных значений типа II; распределение Фреше: Непрерывное распределение (2.23) с функцией распределения (2.7)

,

en

en type II extreme value distribution, distribution

где , , , - параметры распределения, , 0, 0.

fr

loi des valeurs de type II, loi de

2.63 распределение экстремальных значений типа III; распределение Вейбулла: Непрерывное распределение (2.23) с функцией распределения (2.7)

,

en

type III extreme value distribution, Weibull distribution

где , , , - параметры распределения, , 0, 0.

Примечание 1 - В дополнение к тому, что данное распределение служит одним из трех возможных предельных распределений экстремальных порядковых статистик, распределение Вейбулла играет важную роль в различных приложениях, особенно в анализе надежности и инжиниринге. Оно дает эмпирическое приближение различных наборов данных.

Примечание 2 - Параметр a является параметром положения в том смысле, что он является наименьшим значением, которого может достигать распределение Вейбулла. Параметр является параметром масштаба [связан со стандартным отклонением распределением Вейбулла]. Параметр является параметром формы.

Примечание 3 - При 1 распределение Вейбулла охватывает экспоненциальное распределение. Экспоненциальное распределение при параметрах 0 и в степени является распределением Вейбулла, данным в определении. Другим частным случаем распределения Вейбулла является распределение Рэлея (при 0 и 2).

fr

loi des valeurs de type III, loi de Weibull

2.64 многомерное нормальное распределение: Непрерывное распределение (2.23) с функцией плотности вероятности (2.26):

,

en

multivariate normal distribution

где для каждого ;

- -мерный вектор параметров;

- матрица параметров размера , симметричная, положительно определенная;

жирным шрифтом выделены -мерные векторы.

Примечание - Каждое из частных распределений (2.18) многомерного нормального распределения в данном случае имеет нормальное распределение. Однако кроме рассматриваемого распределения существует много других многомерных распределений, имеющих нормальные частные распределения.

fr

loi normale plusieurs variables

2.66 стандартное двумерное нормальное распределение: Двумерное нормальное распределение (2.65), имеющее стандартное нормальное распределение (2.51) компонент.

en

standardized bivariate normal distribution

fr

loi normale deux variables

2.67 выборочное распределение: Распределение некоторой статистики.

en

sampling distribution

Примечание - Иллюстрации некоторых выборочных распределений представлены в примечании 2 к 2.53, примечании 1 к 2.55 и примечании 1 к 2.57.

fr

distribution

2.68 вероятностное пространство; (, , ): Тройка, состоящая из пространства элементарных событий (2.1), заданной на нем сигма-алгебры событий (2.69) и вероятностной меры (2.70).

en

probability space

Пример 1 - Пусть пространство элементарных событий состоит из результатов отбора одного из 105 объектов (с номерами от единицы до 105), произведенных оборудованием в конкретный день. Сигма-алгебра событий содержит все возможные подмножества: {отсутствует выбранный объект}, {выбран объект 1}, {выбран объект 2}, ... {выбран объект 105}, {выбраны объекты 1 и 2}, ..., {выбраны все 105 -объектов}. Вероятностная мера может быть определена как число выбранных объектов, соответствующих наступившему событию, деленное на общее число элементарных исходов. Например, событию {выбраны объекты 4, 27 и 92} соответствует вероятностная мера 3/105.

Пример 2 - Рассматривают время работы батареи. Если батарея попадает в руки уже разряженной, то ее время работы определяют как 0 ч. Если же батарея функционирует некоторое время, то ее время работы подчиняется некоторому распределению (2.11), подобному экспоненциальному распределению (2.58). Общее распределение является смесью дискретного распределения (нулевое время работы изначально разряженных батарей) и непрерывного распределения (ненулевое время работы). Для упрощения примера предпочтительно, чтобы время работы батареи было сравнительно мало по отношению к длительности периода исследования и чтобы измерение проходило непрерывно. На практике может иметь место левое или правое цензурирование времени работы (например, известно, что время жизни не менее 5 ч или батарея разряжается между 3 и 3,5 ч работы), что дает преимущества при дальнейшем анализе. Пространство элементарных событий представляет собой неотрицательную часть действительной прямой. Сигма-алгебра событий содержит все промежутки [0, x) и множество {0}. Также сигма-алгебра включает все счетные объединения и пересечения этих множеств. Вероятностная мера определена как для изначально нефункционирующих батарей, так и для батарей с положительным временем жизни. Детали соответствующих вычислений представлены в вышеразобранных примерах.

fr

espace de

2.69 сигма-алгебра событий, -алгебра; сигма-поле; -поле; : Множество событий (2.2) со следующими свойствами:

a) события принадлежат ;

en

sigma algebra of events, -algebra sigma field -field

b) если событие принадлежит , то дополнительное к нему событие (2.3) также принадлежит ;

c) если - любое множество событий из , то объединение или пересечение этих событий также принадлежат .

Пример 1 - Если пространством элементарных событий является множество целых чисел, то сигма-алгебра событий может быть множеством всех подмножеств целых чисел.

Пример 2 - Если пространством элементарных событий является множество всех действительных чисел, то сигма-алгебра событий может включать все множества, соответствующие всем интервалам на действительной прямой, их конечные и счетные объединения, а также пересечения этих интервалов. Данный пример может быть расширен на высшие размерности путем рассмотрения k-мерных интервалов. В частности, при размерности два множество интервалов может состоять из областей, определяемых множеством   для всех действительных значений s и t.

Примечание 1 - Сигма-алгебра - это множество, элементами которого являются множества. Множество всех возможных исходов - элемент сигма-алгебры событий, что отражено в определении в свойстве а).

Примечание 2 - Свойство с) касается набора операций на коллекции подмножеств (возможно, счетной мощности) сигма-алгебры событий. Его запись указывает на то, что все счетные объединения и пересечения этих множеств принадлежат сигма-алгебре событий.

Примечание 3 - Согласно свойству с) сигма-алгебре событий также принадлежит замыкание конечного объединения или пересечения множеств. Спецификатор сигма используют, чтобы подчеркнуть, что множество замкнуто даже относительно счетного числа операций на множествах.

fr

sigma- des - des

 tribu champ sigma -champ

2.70 вероятностная мера; : Неотрицательная функция, определенная на сигма-алгебре событий (2.69), такая, что:

en

probability measure

a) ,

где обозначает пространство элементарных событий (2.1);

b) ,

где - последовательность попарно не пересекающихся событий (2.2).

Пример - В примере со временем работы батареи, представленным в 2.1, некоторое событие состоит в том, что время работы батареи менее 1 ч. Данное событие состоит из пары непересекающихся событий: {батарея изначально не функционировала} и {батарея изначально функционировала, но время функционирования составило менее 1 ч}. Эквивалентная запись событий: {0} и (0,1). Вероятностная мера события {0} равна доле батарей, которые не функционировали изначально. Вероятностная мера события (0,1) зависит от конкретного непрерывного распределения [например, экспоненциального (2.58)], которому подчиняется распределение отказов.

Примечание 1 - Вероятностная мера назначает каждому событию из сигма-алгебры событий число из замкнутого интервала [0, 1]. Значение вероятностной меры, равное единице, соответствует событию, которое обязательно произойдет. Вероятностная мера, приписываемая всему множеству элементарных событий, равна единице. Вероятностная мера невозможного события равна нулю.

Примечание 2 - Свойство b) указывает на то, что при наличии последовательности событий, где каждая пара событий не содержит общих элементарных событий, вероятностная мера объединения данных событий равна сумме вероятностных мер отдельных событий. Данное свойство (как отражено в записи свойства) сохраняется для счетного числа событий.

Примечание 3 - Три компонента вероятности действенным образом связаны через случайные величины. Вероятности (2.5) событий, соответствующие образу (множеству принимаемых значений) случайной величины (2.10), возникают как вероятности событий пространства элементарных событий. Событию, принадлежащему образу случайной величины, назначают вероятность события пространства элементарных событий, это отображение является отображением "на", производимым случайной величиной.

Примечание 4 - Образ случайной величины - множество действительных чисел или множество упорядоченных наборов действительных чисел (образ случайной величины является отображением "на").

fr

mesure de